선형대수
선형대수를 통해 많은 양의 데이터가 있는 경우에도 간단한 계산식으로 표현 할 수 있다.
# 파이썬으로 선형대수를 사용하기 위한 기본 패키지
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
데이터의 유형
스칼라(scalar)
- 숫자 하나로 이루어진 데이터
- \(x \in R\) (R: 실수)
벡터(vector)
- 여러 숫자로 이루어진 데이터 (= data record)
- 복수의 행과 하나의 열
- 벡터의 차원: 데이터 갯수
- \(x = \overrightarrow{x} = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_N\end{bmatrix}= x \in R^N : n\) 차원 벡터
- \(x_i\) 는 항상 스칼라가 아니고 벡터일 수도 있다.
- 특징 벡터: 벡터 데이터가 입력 데이터로 사용되는 경우
- 넘파이를 사용한 벡터 표현
# numpy의 array 사용 (벡터의 차원 $$\neq$$ 배열의 차원) # 벡터 x를 2차원 배열로 표기 # numpy는 1차원 배열 객체도 벡터로 인정 (박터가 하나의 행으로 되어도 실제로는 열이다) x = np.array([[5.1], [3.5], [1.4], [0.2]]) x >>> array([[5.1], [3.5], [1.4], [0.2]])
행렬(matrix)
- 여러개의 벡터로 이루어진 데이터
- X = \(\begin{bmatrix}x_{1,1} && x_{1,2} && \cdots && x_{1,N}\\x_{2,1} && x_{2,2} && \cdots && x_{2,N}\\\vdots && \vdots && \cdots && \vdots\\x_{N,1} && x_{N,2} && \cdots && x_{N,N}\end{bmatrix}\)
- 원소: \(x_{i,j}\) or \(x_{ij}\)
- 여러 개의 데이터 레코드를 행렬로 나타날 때는 하나의 데이터 레코드가 하나의 행
- X \(\in R^{row \times col}\)
- 하나의 벡터는 열의 갯수가 1인 행렬이기도 하므로 열벡터라고도 부른다. (스칼라와 벡터 모두 행렬에 속한다)
- 스칼라: \(a \in R^{1 \times 1}\)
- 벡터: \(x \in R^{4 \times 1}\)
# ndarray 객체 사용
A = np.array([[11,12,13], [21,22,23]])
A
>>>
array([[11, 12, 13],
[21, 22,23]])
텐서
같은 크기의 행렬 여러 개로 이루어진 데이터 (엄격한 수학적 정의로는 다르다)
컬러 이미지인 경우 빨강, 초록, 파랑을 표현하는 3개의 채널이 있다. (= 3차원 텐서)
전치 연산
행렬의 행과 열을 바꾸는 연산
\(x \rightarrow x^T\) 또는 \(x \rightarrow x^\prime\)
\(x = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_N\end{bmatrix} \rightarrow x^T = \begin{bmatrix}x_1 x_2 \cdots x_N\end{bmatrix}\)
# 1차원 ndarray는 전치 연산이 정의되지 않는다
A = np.array([[11,12,13], [21,22,23]])
A.T
>>>
array([[11, 21],
[12, 22],
[13, 23]])
행렬의 행 표기법과 열 표기법
행렬은 행 벡터 또는 열 벡터를 합친 형태로 표기할 수도 있다.
특수한 벡터와 행렬
- 영벡터
- 모든 원소가 0인 N차원 벡터
\(0_N = 0 = \begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}\)
\(0 \in R^{N \times 1}\) (N이 파악가능하면 생략 가능)
np.zeros((3, 1)) >>> array([[0.], [0.], [0.]]) - 일벡터
- 모든 원소가 1인 N차원 벡터
\(1_N = 1 = \begin{bmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{bmatrix}\)
\(1 \in R^{N \times 1}\) (N이 파악가능하면 생략 가능)np.ones((3, 1)) >>> array([[1.], [1.], [1.]]) - 정방행렬
- 행의 갯수와 열의 갯수가 같은 행렬
- 대각행렬
- 모든 비대각 요소가 0인 행렬 (정방행렬이 아니여도 됨)
(주)대각: 행과 열이 같은 위치
비대각: 나머지
\(D = \begin{bmatrix}d_1 && 0 && \cdots && 0\\0 && d_2 && \cdots && 0\\\vdots && \vdots && \dots && \vdots\\0 && 0 && \cdots && d_N\end{bmatrix}\) - 항등행렬
- 정방행렬이고 대각행렬이면서 모든 대각성분이 1인 대각행렬
\(I = \begin{bmatrix}1 && 0 && \cdots && 0\\0 && 1 && \cdots && 0\\\vdots && \vdots && \dots && \vdots\\0 && 0 && \cdots && 1\end{bmatrix}\)np.identity(3) >>> array([[1., 0., 0.], [0., 1., 0.], [0., 0., 1.]]) np.eye(3) >>> array([[1., 0., 0.], [0., 1., 0.], [0., 0., 1.]]) - 대칭행렬
- 행렬의 전치연산 후에도 원래 행렬과 같은 행렬 (정방행렬만 대칭행렬이 될 수 있음)
\(S^T = S\)
\(S \in R^{N \times N}\)
연습문제
- 2.1.3
- (1)
iris = load_iris() iris_data = iris.data iris_data.T - (2)
iris_data.T.T == iris_data
- (1)
- 2.1.4
- (1)
- 영벡터 \(\begin{bmatrix}0 \\0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
- 일벡터 \(\begin{bmatrix}1 \\1\\ 1 \end{bmatrix}\)
- 정방행렬 \(\begin{bmatrix}1 && 2 && 3 \\4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \end{bmatrix}\)
- 대각행렬 \(\begin{bmatrix}1 && 0 && 0 \\0 && 2 && 0 \\ 0 && 0 && 3 \\ 0 && 0 && 0 \end{bmatrix}\)
- 항등행렬 \(\begin{bmatrix}1 && 0 && 0 \\0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{bmatrix}\)
- 대칭행렬 \(\begin{bmatrix}1 && 2 && 0 \\2 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 3 \end{bmatrix}\)
- (2)
- 영벡터
np.zeros((3, 1)) >>> array([[0.], [0.], [0.]]) - 일벡터
np.ones((3, 1)) >>> array([[1.], [1.], [1.]]) - 정방행렬
np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) >>> array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) - 대각행렬
np.array([[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3], [0, 0, 0]]) >>> array([[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3], [0, 0, 0]]) - 항등행렬
np.array([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]) >>> array([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]) - 대칭행렬
np.array([[1, 2, 0], [2, 0, 0], [0, 0, 3]]) >>> array([[1, 2, 0], [2, 0, 0], [0, 0, 3]])
- 영벡터
- (1)
이 글은 ‘데이터 사이언스 스쿨 수학편’을 정리한 것입니다.
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