3.3 고유값 분해

정방 행렬 $A$에 대해 다음 식을 만족하는 영벡터가 아닌 벡터 $v$, 실수 $\lambda$ 를 찾을 수 있다고 가정하자.
$Av = \lambda v$
$\lambda$: 고유값(eigenvalue) $v$: 고유벡터(eigenvector) 고유값과 고유벡터를 찾는 작업: 고유분해(eigen-decomposition) or 고윳값 분해(eigenvalue decomposition)
행렬 $A$의 고유벡터는 행렬 $A$를 곱해서 변환을 해도 방향이 바뀌지 않는 벡터
고윳값은 변환된 고유벡터와 원래 고유벡터의 크기 비율
$Av- \lambda v = (A -\lambda I)v = 0$
어떤 벡터 $v$가 고유벡터가 되면 이 벡터에 실수를 곱한 벡터 $cv$, 즉 $v$와 방향이 같은 벡터는 모두 고유벡터가 됨
- $A(cv) = cAv = c \lambda v = \lambda (cv)$$
그래서 보통 고유벡터를 표시할 때는 길이가 1인 단위벡터가 되도록 졍규화를 함
- \[v \over \| v \|\]
예시
$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}, \lambda = -1, v = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}$
$Av = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \\ -1\end{bmatrix} = (-1) \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix} = (-1) \begin{bmatrix} {\sqrt 2 \over 2} \\ {\sqrt 2 \over 2}\end{bmatrix} = \lambda v$

이 글은 ‘데이터 사이언스 스쿨 수학편’을 정리한 것입니다. 질문이나 오류가 있다면 댓글 남겨주세요.